В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, AB = √3. Найдите AC.

Обозначим BC = x, тогда AD = 2x и CD = x.

Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK. В нем угол CDK = 60°, следовательно, угол DCK = 30°.

Так как CD = x, то DK = CD / 2 = x/2 (катет, лежащий напротив угла в 30°).

Тогда CK = $$CD * \sin(60^\circ) = x * \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Так как BCKH - прямоугольник, то HK = BC = x.

AH = AD - HK - DK = 2x - x - x/2 = x/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AH = x/2, BH = CK = $$\frac{x\sqrt{3}}{2}$$, AB = $$\sqrt{3}$$.

По теореме Пифагора:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

$$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{x\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3})^2$$

$$\frac{x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} = 3$$

$$\frac{4x^2}{4} = 3$$

$$x^2 = 3$$

$$x = \sqrt{3}$$

Теперь найдем AC. Рассмотрим треугольник ADC. По теореме косинусов:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * \cos(60^\circ)$$

$$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 * 2\sqrt{3} * \sqrt{3} * \frac{1}{2}$$

$$AC^2 = 12 + 3 - 6 = 9$$

$$AC = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: AC = 3