② В трапеции ABCD основания BC = 7 и AD = 12, боковые стороны AB и CD равны. Диагональ AC — биссектриса угла BAD. Найти периметр трапеции.

Пусть E — основание перпендикуляра из B на AD. Поскольку BC ∥ AD, проекция боковой стороны CD на основание равна проекции AB; равенство боковых сторон делает трапецию равнобедренной. Поэтому крайние отрезки основания равны: AE = (12 − 7) / 2 = 2,5.

Обозначим ∠BAC = ∠CAD = α, так как AC — биссектриса угла BAD. Из BC ∥ AD следует ∠BCA = ∠CAD = α. Значит, в треугольнике ABC равны углы BAC и BCA, поэтому AB = BC = 7.

Периметр трапеции: P = AB + BC + CD + AD = 7 + 7 + 7 + 12 = 33.

Ответ: 33.