В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла BAD содержит диагональ AC и пересекает диагональ BD в точке K, BK = 20, KD = 24, AB = BD. Найдите площадь треугольника BCD.

Так как точка K лежит на диагонали BD, то \(BD=BK+KD=20+24=44\). По условию \(AB=BD\), значит \(AB=44\).

Поскольку \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\), а \(BC\parallel AD\), имеем \(\angle BAC=\angle ACB\). Следовательно, \(AB=BC=44\).

Треугольники \(ABK\) и \(ADK\) имеют общую высоту к прямой \(BD\), поэтому

\[\frac{BK}{KD}=\frac{AB\sin\angle ABK}{AD\sin\angle ADK}.\]

Углы \(ABK\) и \(ADK\) являются дополнительными, поэтому их синусы равны. Тогда

\[\frac{20}{24}=\frac{44}{AD},\qquad AD=\frac{44\cdot24}{20}=52.8.\]

Высота трапеции равна высоте треугольника \(ABD\). В треугольнике \(ABD\) со сторонами \(AB=44\), \(BD=44\), \(AD=52.8\):

\[h=\sqrt{44^2-\left(\frac{52.8}{2}\right)^2}=\sqrt{1936-696.96}=35.2.\]

Следовательно, площадь треугольника \(BCD\):

\[S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot h=\frac12\cdot44\cdot35.2=774.4.\]

Ответ: 774.4