В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Известно, что AD = 10 и точка О делит диагональ AC в отношении 5 : 2, считая от вершины А. Найдите длину основания BC.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD || BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

По условию, AD = 10.

Точка O делит диагональ AC в отношении AO : OC = 5 : 2, считая от вершины A.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle COB \).

Так как AD || BC, то \( \angle DAO = \angle BCO \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC) и \( \angle ADO = \angle CBO \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD).

Следовательно, \( \triangle AOD \sim \triangle COB \) по двум углам.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

\( \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{CB} = \frac{DO}{OB} \)

Нам известно, что \( \frac{AO}{OC} = \frac{5}{2} \) и \( AD = 10 \).

Подставим известные значения в соотношение:

\( \frac{5}{2} = \frac{10}{CB} \)

Теперь найдём длину основания BC:

\[ 5 \cdot CB = 2 \cdot 10 \]

\[ 5 \cdot CB = 20 \]

\[ CB = \frac{20}{5} \]

\[ CB = 4 \]

Длина основания BC равна 4.

Ответ: 4.