В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Диагональ AC пересекает отрезок MN в точке O. Доказать: AO = CO.

Так как M и N — середины боковых сторон трапеции, отрезок MN является её средней линией. Поэтому \(MN \parallel AD\) и \(MN \parallel BC\).

1. Рассмотрим треугольник \(ACD\).
2. Точка N — середина стороны CD.
3. Через N проведена прямая \(NO\), причём \(NO \parallel AD\).
4. По теореме о средней линии треугольника прямая, проходящая через середину одной стороны параллельно второй стороне, делит третью сторону пополам. Значит, точка O — середина стороны AC.

Следовательно, \(AO=CO\).

Ответ: \(AO=CO\).