В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон: AM = MB = CN = ND. Диагональ BD пересекает MN в точке K. ∠BAC = ∠CAD, MK = 3 см, KN = 5 см. Найти периметр трапеции ABCD.

Так как M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия. Точка K является серединой диагонали BD, поэтому:

1. Отрезок \(MK\) равен половине нижнего основания:
   \[AD=2\cdot MK=2\cdot3=6\text{ см}.\]
2. Отрезок \(KN\) равен половине верхнего основания:
   \[BC=2\cdot KN=2\cdot5=10\text{ см}.\]
3. Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle ACB=\angle CAD\). По условию \(\angle BAC=\angle CAD\), значит, \(\angle BAC=\angle ACB\). Следовательно, в треугольнике ABC равны противоположные стороны:
   \[AB=BC=10\text{ см}.\]
4. Из условия \(AM=MB=CN=ND\) следует, что \(AB=CD\). Поэтому \(CD=10\) см.
5. Периметр трапеции:
   \[P=AD+BC+AB+CD=6+10+10+10=36\text{ см}.\]

Ответ: \(P=36\) см.