В трапеции АВCD через точку О пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям AD и ВС. 1. Докажи, что отрезок в точке О делится пополам (напиши выражения отрезков МО и ON через основания AD = xu BC = y). Ответ: МО = ON =

1. Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. Они подобны по двум углам (углы при основаниях равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущих $$AB$$ и $$CD$$, вертикальные углы при точке $$O$$ равны).

Отношение сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{y}{x}$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$MOD$$. Они подобны по двум углам (общий угол $$D$$ и $$MO || AD$$).

$$\frac{MO}{AD} = \frac{DO}{BD}$$

Выразим $$BD = BO + OD$$, тогда

$$\frac{DO}{BD} = \frac{DO}{BO + OD} = \frac{DO}{\frac{y}{x}DO + OD} = \frac{DO}{DO(\frac{y}{x} + 1)} = \frac{1}{\frac{y}{x} + 1} = \frac{x}{y + x}$$

Получаем, что

$$\frac{MO}{AD} = \frac{x}{x + y}$$, следовательно, $$MO = \frac{x^2}{x + y}$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$NBO$$. Они подобны по двум углам (общий угол $$B$$ и $$ON || BC$$).

$$\frac{ON}{BC} = \frac{BO}{BA}$$

Выразим $$BA = BO + OA$$, тогда

$$\frac{BO}{BA} = \frac{BO}{BO + OA} = \frac{BO}{BO + \frac{x}{y}BO} = \frac{BO}{BO(1 + \frac{x}{y})} = \frac{1}{1 + \frac{x}{y}} = \frac{y}{x + y}$$

Получаем, что

$$\frac{ON}{BC} = \frac{y}{x + y}$$, следовательно, $$ON = \frac{y^2}{x + y}$$

Чтобы доказать, что $$MO = ON$$, необходимо, чтобы $$AD = BC$$, то есть чтобы трапеция была равнобедренной, а это не задано в условии.

$$MO = \frac{x^2}{x + y}$$

$$ON = \frac{y^2}{x + y}$$

Ответ: $$MO = \frac{x^2}{x + y}$$, $$ON = \frac{y^2}{x + y}$$