В трапеции меньший угол равен 30°, а боковая сторона, прилежащая к этому углу, равна 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность, а средняя линия равна 8. Найдите площадь S и периметр P трапеции.

Разбор задачи

В этой задаче нам нужно найти площадь и периметр трапеции, зная некоторые её характеристики. Трапеция, в которую можно вписать окружность, обладает особым свойством: сумма противоположных сторон равна.

Дано:

• Угол \( A = 30^{\circ} \)
• Боковая сторона \( AB = 10 \)
• Средняя линия \( m = 8 \)
• В трапецию вписана окружность.

Найти:

• Площадь \( S \)
• Периметр \( P \)

Решение

1. Находим высоту и основание

Проведем высоту \( h \) из вершины \( B \) к основанию \( AD \). В прямоугольном треугольнике \( ABH \) (где \( H \) — точка на \( AD \) такая, что \( BH \) — высота), угол \( BAH = 30^{\circ} \), а гипотенуза \( AB = 10 \).

Высота \( h = BH \) находится как противолежащий катет к углу \( 30^{\circ} \):

\[ h = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \]

Средняя линия трапеции \( m = \frac{AD + BC}{2} \). Нам дано, что \( m = 8 \), значит, полусумма оснований равна 8. Сумма оснований \( AD + BC = 2 \cdot m = 2 \cdot 8 = 16 \).

2. Находим боковую сторону CD

Свойство трапеции, в которую вписана окружность: сумма противоположных сторон равна. Это значит, что \( AB + CD = AD + BC \).

Мы знаем, что \( AB = 10 \) и \( AD + BC = 16 \).

Следовательно, \( 10 + CD = 16 \), откуда \( CD = 16 - 10 = 6 \).

3. Находим площадь трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = m \cdot h \), где \( m \) — средняя линия, а \( h \) — высота.

\[ S = 8 \cdot 5 = 40 \]

4. Находим периметр трапеции

Периметр трапеции — это сумма всех её сторон: \( P = AD + BC + AB + CD \).

Мы знаем, что \( AD + BC = 16 \) и \( AB + CD = 10 + 6 = 16 \).

\[ P = (AD + BC) + (AB + CD) = 16 + 16 = 32 \]

Ответ: Площадь трапеции S = 40, периметр P = 32.