В третьем треугольнике проведен радиус к точке касания. Угол между радиусом и касательной равен x. Угол, опирающийся на дугу, равен 50 градусов. Найдите x.

Решение:

• Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, всегда равен 90°.
• В данном случае этот угол обозначен как x.
• Важно: Угол, опирающийся на дугу (50°), относится к вписанному углу. Теорема об угле между касательной и хордой гласит, что этот угол равен половине угловой величины дуги, которую он заключает. Угол между касательной и радиусом (90°) и вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, связаны.
• Угол между касательной и хордой, отсекающей дугу, равен половине величины этой дуги. Угол, который образует касательная с хордой, равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
• Здесь угол в 50° является вписанным углом, опирающимся на некоторую дугу. Следовательно, величина этой дуги равна $$2 \times 50° = 100°$$.
• Угол между касательной и радиусом (x) составляет 90°. Часть этого угла, отсекаемая хордой, составляет $$90° - (\text{внутренний угол треугольника})$$.
• Более простой подход: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он охватывает. В данном случае, на рисунке показан угол, который является углом между касательной и радиусом. Этот угол по определению всегда прямой, то есть 90°. Зеленым цветом показан угол x, который является частью прямого угла (90°). Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и угол между касательной и хордой, равен половине этой дуги.
• В данном случае, угол 50° является углом, опирающимся на дугу. Угол между касательной и радиусом (x) является прямым углом. Часть прямого угла, которая не занята углом 50°, равна x.
• Угол, образованный касательной и хордой, равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Этот угол равен 50°.
• Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, всегда равен 90°.
• В данном случае, угол x + 50° = 90°.
• \[ x = 90° - 50° \]
• \[ x = 40° \]

Ответ: 40°