В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R. Найдите AP, PB, BQ, QC, CR, RA, если AB = 10 см, BC = 12 см, CA = 5 см.

Пошаговое решение:

1. Пусть AP = x. Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то AP = AR = x.
2. Тогда PB = AB - AP = 10 - x, и PB = BQ = 10 - x.
3. Аналогично, QC = BC - BQ = 12 - (10 - x) = 2 + x, и QC = CR = 2 + x.
4. Также, RA = CA - CR = 5 - (2 + x) = 3 - x, и RA = AP = x.
5. Получаем уравнение: x = 3 - x.
6. Решим уравнение: 2x = 3, x = 1.5 см.
7. Теперь найдём все отрезки:
   • AP = AR = x = 1.5 см
   • PB = BQ = 10 - x = 10 - 1.5 = 8.5 см
   • QC = CR = 2 + x = 2 + 1.5 = 3.5 см
   • RA = 3 - x = 3 - 1.5 = 1.5 см

Ответ: AP = 1.5 см, PB = 8.5 см, BQ = 8.5 см, QC = 3.5 см, CR = 3.5 см, RA = 1.5 см.