В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках H, G и F соответственно. P_ABC = 86 см, AH : HB = 3 : 4, CG = 8 см. Чему равна сторона AB? Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть ( AH = 3x ), тогда ( HB = 4x ). Обозначим (AF = AH = 3x) и (BG = BH = 4x ) как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Также обозначим ( CF = CG = 8) как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Тогда стороны треугольника равны:

• ( AB = AH + HB = 3x + 4x = 7x )
• ( BC = BG + GC = 4x + 8 )
• ( AC = AF + FC = 3x + 8 )

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: ( P = AB + BC + AC ). Подставим известные значения и выразим периметр через ( x ): $$ 86 = 7x + (4x + 8) + (3x + 8) $$

Решим уравнение относительно ( x ): $$ 86 = 7x + 4x + 8 + 3x + 8 $$ $$ 86 = 14x + 16 $$ $$ 14x = 86 - 16 $$ $$ 14x = 70 $$ $$ x = \frac{70}{14} $$ $$ x = 5 $$

Теперь найдем длину стороны ( AB ), зная, что ( AB = 7x ): $$ AB = 7 \cdot 5 = 35 $$

Ответ: 35