В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его сторон в точках М, К и Р. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону ВС.

Решение:

Пусть \( AM = AP = x \), \( BM = BK = y \), \( CK = CP = z \).

Из рисунка имеем:

• \( AB = AM + MB = x + y = 11 \)
• \( AC = AP + PC = x + z = 7 \)
• \( BC = BK + KC = y + z = 5 \)

У нас есть система уравнений:

1. \( x + y = 11 \)
2. \( x + z = 7 \)
3. \( y + z = 5 \)

Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (x + z) + (y + z) = 11 + 7 + 5 \)

\( 2x + 2y + 2z = 23 \)

\( 2(x + y + z) = 23 \)

\( x + y + z = \frac{23}{2} = 11.5 \)

Теперь найдем \( y + z \), зная \( x + y + z \) и \( x \):

Из уравнения \( x + z = 7 \), выразим \( x = 7 - z \).

Подставим \( x \) в \( x + y = 11 \):

\( (7 - z) + y = 11 \)

\( y - z = 4 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с \( y \) и \( z \):

1. \( y + z = 5 \)
2. \( y - z = 4 \)

Сложим эти два уравнения:

\( (y + z) + (y - z) = 5 + 4 \)

\( 2y = 9 \)

\( y = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Подставим \( y = 4.5 \) в \( y + z = 5 \):

\( 4.5 + z = 5 \)

\( z = 5 - 4.5 = 0.5 \)

Теперь найдем \( x \) из \( x + z = 7 \):

\( x + 0.5 = 7 \)

\( x = 6.5 \)

Проверим \( x + y = 11 \): \( 6.5 + 4.5 = 11 \). Верно.

Сторона \( BC = BK + KC = y + z \).

\( BC = 4.5 + 0.5 = 5 \).

Ответ: 5.