В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, PB, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

Пусть x = AP = AR, y = BP = BQ, z = CQ = CR. Тогда можем составить систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = AB = 10 \\ y + z = BC = 12 \\ x + z = CA = 5 \end{cases}$$

Выразим y из первого уравнения: $$y = 10 - x$$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$10 - x + z = 12 \Rightarrow z - x = 2 \Rightarrow z = x + 2$$

Подставим это выражение в третье уравнение:

$$x + x + 2 = 5 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$$

Теперь найдём остальные значения:

$$y = 10 - x = 10 - 1.5 = 8.5$$

$$z = x + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$$

Тогда:

• AP = AR = x = 1.5 см
• PB = BQ = y = 8.5 см
• QC = CR = z = 3.5 см

Ответ: AP = 1.5 см, PB = 8.5 см, BQ = 8.5 см, QC = 3.5 см, CR = 3.5 см, RA = 1.5 см.