В треугольник АВС вписана окружность. P, K, S — точки касания окружности к его сторонам АВ, ВС и АС соответственно (см. рисунок). Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 3 см, ВР = 2 см, СS = 4 см.

Решение:

Известно, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

1. \( AP = AS \) (касательные из точки А).

2. \( BP = BK \) (касательные из точки В).

3. \( CS = CK \) (касательные из точки С).

По условию:

\( AP = 3 \) см, следовательно, \( AS = 3 \) см.

\( BP = 2 \) см, следовательно, \( BK = 2 \) см.

\( CS = 4 \) см, следовательно, \( CK = 4 \) см.

Теперь найдём длины сторон треугольника АВС:

\( AB = AP + PB = 3 + 2 = 5 \) см.

\( BC = BK + KC = 2 + 4 = 6 \) см.

\( AC = AS + SC = 3 + 4 = 7 \) см.

Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон:

\( P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 + 6 + 7 = 18 \) см.

Ответ: 18 см.