В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках K, L и М соответственно. PABC = 120 см, AK : KB = 3 : 5, CL = 4 см. Чему равна сторона АВ? Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть AK = 3x, тогда KB = 5x.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем:

• AK = AM = 3x
• BK = BL = 5x
• CL = CM = 4

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех сторон:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC$$

Выразим стороны через введенные переменные:

• AB = AK + KB = 3x + 5x = 8x
• BC = BL + LC = 5x + 4
• AC = AM + MC = 3x + 4

Подставим в формулу периметра:

$$120 = 8x + 5x + 4 + 3x + 4$$

Упростим уравнение:

$$120 = 16x + 8$$ $$16x = 120 - 8$$ $$16x = 112$$ $$x = \frac{112}{16}$$ $$x = 7$$

Тогда AB = 8x = 8 \cdot 7 = 56 см.

Ответ: 56