В треугольник MNP вписана окружность. Точки Q и R - её общие точки со сторонами МР и MN соответственно. Известны длины четырёх отрезков: MQ = 36, PQ = 77, MR = 36, NR = 53. Найдите периметр треугольника MNP.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Определение отрезков касательных:
   Из точки P к вписанной окружности проведены касательные PQ и PM. Следовательно, PQ = PM.
2. Определение отрезков касательных:
   Из точки N к вписанной окружности проведены касательные NR и NQ (на рисунке обозначено как NR и NK, но по условию R на MN, а Q на MP, значит NQ и NR). Следовательно, NR = NQ.
3. Определение отрезков касательных:
   Из точки M к вписанной окружности проведены касательные MQ и MR. Следовательно, MQ = MR.
4. Проверка данных:
   По условию MQ = 36 и MR = 36. Это соответствует свойству касательных.
5. Нахождение длины стороны MP:
   Сторона MP состоит из отрезков MQ и QP.
   MP = MQ + QP = 36 + 77 = 113.
6. Нахождение длины стороны MN:
   Сторона MN состоит из отрезков MR и RN.
   MN = MR + RN = 36 + 53 = 89.
7. Нахождение длины стороны NP:
   По свойству касательных, PQ = PM, следовательно, P должна быть точкой касания, но по условию Q на MP. Поэтому PQ = 77, значит, и PM = 77. Аналогично NR = 53, значит, NQ = 53. Но Q является общей точкой со стороной MP, а R - со стороной MN. Значит, QM = MR = 36, QP = PN' = 77, RN = RM' = 53.
   В условии сказано, что Q и R - общие точки со сторонами MP и MN. Это означает, что Q лежит на MP, а R лежит на MN.
   Отрезки касательных из вершины P равны: PQ = PX (где X - точка касания на NP).
   Отрезки касательных из вершины N равны: NR = NY (где Y - точка касания на NP).
   Отрезки касательных из вершины M равны: MQ = MZ (где Z - точка касания на MP).
   
   По условию: MQ = 36, PQ = 77, MR = 36, NR = 53.
   Так как MQ и MR - отрезки касательных из точки M, то MQ = MR = 36. Это условие выполняется.
   Так как PQ - отрезок касательной из точки P до точки Q на стороне MP, то PQ = 77.
   Так как NR - отрезок касательной из точки N до точки R на стороне MN, то NR = 53.
   
   Теперь мы знаем, что:
   MQ = 36, MR = 36.
   PQ = 77. Следовательно, отрезок касательной из P до стороны MN (пусть это будет PT) равен 77.
   NR = 53. Следовательно, отрезок касательной из N до стороны MP (пусть это будет NS) равен 53.
   
   Это значит, что точки Q и R не являются точками касания. Они просто лежат на сторонах.
   Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами MP, MN, NP будут X, Y, Z соответственно.
   Тогда:
   MX = MY = 36 (по условию MQ=36, MR=36, и M - вершина, Q на MP, R на MN, значит MX=MQ=36, MY=MR=36).
   PX = PZ = 77 (по условию PQ=77, и P - вершина, Q на MP, значит PX=PQ=77).
   NY = NZ = 53 (по условию NR=53, и N - вершина, R на MN, значит NY=NR=53).
   
   Теперь найдем длины сторон треугольника MNP:
   MP = MX + XP = 36 + 77 = 113.
   MN = MY + YN = 36 + 53 = 89.
   NP = PZ + ZN = 77 + 53 = 130.
8. Нахождение периметра треугольника:
   Периметр (P) треугольника MNP равен сумме длин его сторон.
   P_{MNP} = MP + MN + NP = 113 + 89 + 130 = 332.

Ответ: 332