В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, AB = A₁B₁. Точки D и D₁ — середины отрезков AC и A₁C₁ соответственно. Докажите, что BD = B₁D₁.

1. По двум равным углам и заключённой между ними равной стороне треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по признаку УСУ. Поэтому AC = A₁C₁.
2. Так как D и D₁ — середины соответствующих сторон, AD = AC/2 и A₁D₁ = A₁C₁/2. Следовательно, AD = A₁D₁.
3. Точки D и D₁ лежат на AC и A₁C₁, поэтому ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. Вместе с AB = A₁B₁ и AD = A₁D₁ это даёт равенство треугольников ABD и A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.
4. У равных треугольников соответствующие стороны равны, значит, BD = B₁D₁.

Ответ: BD = B₁D₁.