В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Question

Вопрос:

Фото задания

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Accepted Answer

Из равенств AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁ следует, что △ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому соответствующие углы равны: ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ и ∠ACB = ∠A₁C₁B₁.
Так как D лежит на AB, а D₁ — на A₁B₁, имеем ∠CAD = ∠B₁A₁C₁ = ∠BAC. Аналогично, ∠C₁A₁D₁ = ∠BAC.
По условию ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Следовательно, из равенства углов треугольников ACD и A₁C₁D₁ получаем ∠ADC = ∠A₁D₁C₁ и CD = C₁D₁: треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по стороне и двум прилежащим углам, поскольку AC = A₁C₁.
Так как точки A, D, B лежат на одной прямой, а A₁, D₁, B₁ — на другой, ∠BDC и ∠B₁D₁C₁ — смежные с равными углами ∠ADC и ∠A₁D₁C₁, поэтому ∠BDC = ∠B₁D₁C₁.
Имеем BD = AB − AD и B₁D₁ = A₁B₁ − A₁D₁. Из AB = A₁B₁ и AD = A₁D₁ следует BD = B₁D₁.
В треугольниках BCD и B₁C₁D₁ равны две стороны: BC = B₁C₁ и CD = C₁D₁, а также заключённый между ними угол: ∠BCD = ∠B₁C₁D₁. Последнее следует из равенства ∠ACB = ∠A₁C₁B₁ и ∠ACD = ∠A₁C₁D₁, поскольку лучи CD и C₁D₁ делят соответствующие углы одинаково.

Ответ: △BCD = △B₁C₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.