В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

1. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны три стороны: AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. Значит, эти треугольники равны по третьему признаку.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.
3. Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, то ∠BAC = 2∠BAD и ∠B₁A₁C₁ = 2∠B₁A₁D₁. Поэтому ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
4. Точки D и D₁ лежат на сторонах BC и B₁C₁, поэтому ∠ABC = ∠ABD и ∠A₁B₁C₁ = ∠A₁B₁D₁. Следовательно, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Вместе с равенством AB = A₁B₁ это даёт равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.