В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки CO и C₁O₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.

По условию BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Значит, △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, а соответствующие медианы равны: CO = C₁O₁.

а) Так как CO и C₁O₁ — медианы, O и O₁ — середины AB и A₁B₁. Из AB = A₁B₁ следует AO = A₁O₁. Вместе с AC = A₁C₁ и CO = C₁O₁ это даёт равенство △ACO и △A₁C₁O₁ по трём сторонам.

б) Аналогично BO = AB/2 и B₁O₁ = A₁B₁/2, поэтому BO = B₁O₁. Кроме того, BC = B₁C₁ и CO = C₁O₁. Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по трём сторонам.

Ответ: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.