146 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ отрезки AD и A₁D₁ — бис- сектрисы, АВ = А1В1, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:

• AB = A₁B₁ (по условию)

• BD = B₁D₁ (по условию)

• AD = A₁D₁ (по условию)

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ и ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁ (по условию)

• ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (так как ∠ABD = ∠A₁B₁D₁)

• Нужно доказать, что ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

  Так как AD и A₁D₁ - биссектрисы углов A и A₁ соответственно, то ∠BAC = 2∠BAD и ∠B₁A₁C₁ = 2∠B₁A₁D₁.

  Учитывая, что ∠BAD = ∠B₁A₁D₁, получаем: ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.