267. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠B=∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁; ∠A = ∠A₁ = 90°; BD и B₁D₁ – биссектрисы; ∠B = ∠B₁; BD = B₁D₁. Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔA₁B₁D₁: - ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию) - BD = B₁D₁ (по условию) - ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (т.к. BD и B₁D₁ — биссектрисы, а ∠B = ∠B₁, то и половины углов равны). Следовательно, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по гипотенузе и острому углу. 2. Из равенства треугольников ΔABD и ΔA₁B₁D₁ следует, что AB = A₁B₁. 3. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁: - ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию) - AB = A₁B₁ (доказано выше) - ∠B = ∠B₁ (по условию) Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по катету и прилежащему острому углу. Что и требовалось доказать.