В треугольниках АВС и А₁B₁C₁ BC = B₁C₁, ∠C = ∠C₁ и AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁, BD и B₁D₁ — медианы этих треугольников. Докажите, что BD = B₁D₁.

Дано:

ΔABC и ΔA₁B₁C₁.

BC = B₁C₁

∠C = ∠C₁

AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁

BD и B₁D₁ — медианы.

Доказать:

BD = B₁D₁

Доказательство:

Так как BD и B₁D₁ — медианы, то D — середина стороны AC, а D₁ — середина стороны A₁C₁. Следовательно, AD = DC = AC/2 и A₁D₁ = D₁C₁ = A₁C₁/2.

Из условия AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁ следует, что:

AB + 2DC = A₁B₁ + 2D₁C₁

Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁. По двум сторонам и углу между ними (AB, BC, ∠B и A₁B₁, B₁C₁, ∠B₁) нельзя доказать равенство.

Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.

Из условия AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁. Если мы используем теорему косинусов:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 · AC · BC · \cos C \)

\( A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - 2 · A_1C_1 · B_1C_1 · \cos C_1 \)

Поскольку BC = B₁C₁ и ∠C = ∠C₁, то \( AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 \).

Из условия AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁ имеем:

(AB - A₁B₁) + (AC - A₁C₁) = 0

Предположим, что AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁. Тогда ΔABC = ΔA₁B₁C₁ (по трем сторонам). Медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Значит BD = B₁D₁.

Рассмотрим случай, когда AB ≠ A₁B₁.

Из AB + AC = A₁B₁ + A₁C₁ => AC - A₁C₁ = A₁B₁ - AB

Из \( AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 \) => \( (AB - AC)(AB + AC) = (A_1B_1 - A_1C_1)(A_1B_1 + A_1C_1) \)

Подставим AC = A₁C₁ + A₁B₁ - AB:

\( (AB - (A_1C_1 + A_1B_1 - AB))(AB + (A_1C_1 + A_1B_1 - AB)) = (A_1B_1 - A_1C_1)(A_1B_1 + A_1C_1) \)

\( (2AB - A_1C_1 - A_1B_1)(A_1C_1 + A_1B_1) = (A_1B_1 - A_1C_1)(A_1B_1 + A_1C_1) \)

Если \( A_1C_1 + A_1B_1 \) ≠ 0, то \( 2AB - A_1C_1 - A_1B_1 = A_1B_1 - A_1C_1 \) => \( 2AB = 2A_1B_1 \) => AB = A₁B₁.

Следовательно, AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

Тогда ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (AB, AC, ∠A, если бы он был равен, или по трем сторонам).

Так как ΔABC = ΔA₁B₁C₁, то соответствующие медианы равны. Медиана BD проведена к стороне AC, а медиана B₁D₁ проведена к стороне A₁C₁. Так как AC = A₁C₁, то BD = B₁D₁.

Что и требовалось доказать.