103 В треугольниках АВС и А1В1С1 AB = A₁B1, AC = A₁C1, ∠A = ∠A₁. На сторонах АВ и А1В1 отмечены точки Р и Р₁ так, что АР = А₁Р1. Докажите, что ДВРС = ∆B1P1C1.

Для доказательства равенства треугольников $$\triangle BPC$$ и $$\triangle B_1P_1C_1$$ воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 1. Рассмотрим стороны $$BP$$ и $$B_1P_1$$. Из условия известно, что $$AB = A_1B_1$$ и $$AP = A_1P_1$$. Тогда: $$BP = AB - AP$$ $$B_1P_1 = A_1B_1 - A_1P_1$$ Так как $$AB = A_1B_1$$ и $$AP = A_1P_1$$, то $$BP = B_1P_1$$. 2. Рассмотрим стороны $$AC$$ и $$A_1C_1$$. По условию, $$AC = A_1C_1$$. 3. Рассмотрим углы $$\angle A$$ и $$\angle A_1$$. По условию, $$\angle A = \angle A_1$$. Таким образом, у треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ две стороны и угол между ними равны, следовательно, $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что $$BC = B_1C_1$$ и $$\angle B = \angle B_1$$, $$\angle C = \angle C_1$$. Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle BPC$$ и $$\triangle B_1P_1C_1$$: 1. $$BP = B_1P_1$$ (доказано выше). 2. $$BC = B_1C_1$$ (как стороны равных треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$). 3. $$\angle B = \angle B_1$$ (как углы равных треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$). Таким образом, у треугольников $$\triangle BPC$$ и $$\triangle B_1P_1C_1$$ две стороны ($$BP$$ и $$BC$$) и угол между ними ($$\angle B$$) соответственно равны. Следовательно, $$\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$$ по первому признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.