141 В треугольниках АВС и А,В,С, отрезки AD и AD - биссектрисы, АВ = А1В1, BD = B₁D₁ и AD = A,D₁. Докажите, что ДАВС = А1В1С1.

Для доказательства равенства треугольников ΔABC и Δ₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними, нам даны следующие условия:

1. AB = A₁B₁ (равенство сторон)
2. AD = A₁D₁ (равенство биссектрис)
3. BD = B₁D₁

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:

У них:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. AD = A₁D₁ (по условию)
3. BD = B₁D₁ (по условию)

Следовательно, ΔABD = Δ₁B₁D₁ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

Так как AD и A₁D₁ - биссектрисы, то ∠BAC = 2 * ∠DAC и ∠B₁A₁C₁ = 2 * ∠D₁A₁C₁.

Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует равенство углов: ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.

Тогда ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (так как ∠BAC = 2 * ∠BAD и ∠B₁A₁C₁ = 2 * ∠B₁A₁D₁).

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

У них:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (доказано выше)

Чтобы доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, нужно доказать, что BC = B₁C₁:

Так как BD = B₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, то можно рассмотреть треугольники BDC и B₁D₁C₁ (если известны углы ∠ADB и ∠AD₁B₁).

Но так как у нас недостаточно данных, мы не можем доказать, что BC = B₁C₁.

Но мы знаем, что ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, так как ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

Таким образом, ΔABC = Δ₁B₁C₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: ΔABC = Δ₁B₁C₁ доказано.