В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А₁ — прямые, BD и В1D1 — биссектрисы. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

• Дано: треугольники ABC и A₁B₁C₁, \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\), BD и B₁D₁ - биссектрисы, \(\angle B = \angle B_1\), BD = B₁D₁.
• Так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, то \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B\) и \(\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle B_1\).
• По условию \(\angle B = \angle B_1\), следовательно, \(\angle ABD = \angle A_1B_1D_1\).
• Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:
• \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\)
• \(\angle ABD = \angle A_1B_1D_1\)
• BD = B₁D₁ (по условию)
• Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по углу и прилежащей стороне (по второму признаку равенства треугольников).
• Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что AB = A₁B₁.
• Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
• \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\)
• AB = A₁B₁ (доказано выше)
• \(\angle B = \angle B_1\) (по условию)
• Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по углу, углу и прилежащей стороне (по второму признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.