136 В треугольниках DEF и MNP EF=NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектри сы углов М и N — в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники DEF и MNP. По условию EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Следовательно, ΔDEF = ΔMNP по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
2. Из равенства треугольников следует, что ∠D = ∠M и ∠E = ∠N.
3. Так как DO и KO - биссектрисы углов D и M соответственно, то ∠EDO = 1/2 ∠D = 1/2 ∠M = ∠NKM. Аналогично, ∠DEO = 1/2 ∠E = 1/2 ∠N = ∠MNK.
4. Рассмотрим треугольники DOE и MKN. У них ∠EDO = ∠NKM, ∠DEO = ∠MNK, и DE = MN (так как ΔDEF = ΔMNP). Следовательно, ΔDOE = ΔMKN по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников DOE и MKN следует, что ∠DOE = ∠MKN, что и требовалось доказать.