В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен 90°, \( AC = 12 \), \( tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3} \). Найдите \( AB \).

Решение:

Тангенс угла \( A \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) определяется как отношение противолежащего катета (\( BC \)) к прилежащему (\( AC \)):

\[ tg A = \frac{BC}{AC} \]

Из условия задачи известно, что \( AC = 12 \) и \( tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3} \). Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BC}{12} \]

Чтобы найти \( BC \), умножим обе части уравнения на 12:

\[ BC = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10} \]

Теперь, когда известны длины катетов \( AC \) и \( BC \), можно найти длину гипотенузы \( AB \) с помощью теоремы Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 \]\[ AB^2 = 144 + 64 \cdot 10 \]\[ AB^2 = 144 + 640 \]\[ AB^2 = 784 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти \( AB \):

\[ AB = \sqrt{784} = 28 \]

Ответ: \( AB = 28 \)