В треугольнике \(ABC\) \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle C = 15^\circ\), \(BC = 4\sqrt{6}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Решение:

1. Найдем угол B:

$$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ $$

2. Применим теорему синусов:

$$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} $$

3. Выразим AC:

$$ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} $$

4. Вычислим значения синусов:

$$ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

5. Подставим значения в формулу для AC:

$$ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 $$

Ответ: 12