В треугольнике \(ABC\) на его медиане \(BM\) отмечена точка \(K\) так, что \(BK:KM = 4:1\). Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Найдите отношение площади треугольника \(ABK\) к площади четырёхугольника \(KPCM\).

Решение:

Пусть \(S_{ABK}\) — площадь треугольника \(ABK\), а \(S_{KPCM}\) — площадь четырёхугольника \(KPCM\).

Так как \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), то \(AM = MC\), и площадь треугольника \(ABM\) равна площади треугольника \(CBM\):

\[S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2}S_{ABC}\]

По условию \(BK:KM = 4:1\), следовательно, \(BK = \frac{4}{5}BM\) и \(KM = \frac{1}{5}BM\). Тогда площадь треугольника \(ABK\) составляет \(\frac{4}{5}\) площади треугольника \(ABM\):

\[S_{ABK} = \frac{4}{5}S_{ABM} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{2}{5}S_{ABC}\]

Применим теорему Менелая для треугольника \(BCM\) и прямой \(AKP\):

\[\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MK}{KB} = 1\]

Так как \(AM = MC\), то \(CA = 2AM\). Подставляем известные значения:

\[\frac{BP}{PC} \cdot \frac{2AM}{AM} \cdot \frac{1}{4} = 1\]\[\frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{4} = 1\]\[\frac{BP}{PC} = 2\]

Значит, \(BP = 2PC\), и следовательно, \(BC = BP + PC = 2PC + PC = 3PC\). Тогда \(PC = \frac{1}{3}BC\). Таким образом, площадь треугольника \(APC\) составляет \(\frac{1}{3}\) площади треугольника \(ABC\):

\[S_{APC} = \frac{1}{3}S_{ABC}\]

Площадь треугольника \(ABM\) равна площади треугольника \(BCM\):

\[S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ABC}\]

Площадь треугольника \(KMC\) составляет \(\frac{1}{5}\) площади треугольника \(BMC\):

\[S_{KMC} = \frac{1}{5}S_{BMC} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{1}{10}S_{ABC}\]

Площадь четырёхугольника \(KPCM\) можно найти как разность площадей треугольников \(PMC\) и \(KMC\):

\[S_{KPCM} = S_{PMC} + S_{KMC} = S_{BCM} - S_{BPC} - S_{KMC} = \frac{1}{2}S_{ABC} - \frac{2}{3} S_{BCM} - \frac{1}{10}S_{ABC} \]

Так как \(S_{PMC} = \frac{1}{3} S_{CMB}\) и \(S_{CMB} = \frac{1}{2} S_{ABC}\)

\[S_{PMC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}\]\[S_{KPCM} = S_{KMC} + S_{PMC} = \frac{1}{10}S_{ABC} + \frac{1}{6}S_{ABC} = \frac{3+5}{30}S_{ABC} = \frac{8}{30}S_{ABC} = \frac{4}{15}S_{ABC}\]

Теперь найдём отношение площади треугольника \(ABK\) к площади четырёхугольника \(KPCM\):

\[\frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}} = \frac{\frac{2}{5}S_{ABC}}{\frac{4}{15}S_{ABC}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}\]

Ответ: \(\frac{3}{2}\)