В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) отметили точку \(E\) так, что \(AB = BE\), а на стороне \(BC\) отметили точку \(D\) так, что \(BD = CD\). \(\angle BEA = 66^\circ\), \(\angle BED = 57^\circ\). Найдите градусную меру \(\angle ABC\). Ответ на задание запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Определим углы \(\angle ABE\) и \(\angle EBD\):

Так как \(AB = BE\), треугольник \(ABE\) равнобедренный, следовательно, \(\angle BAE = \angle BEA = 66^\circ\).

Тогда, \(\angle ABE = 180^\circ - 2 \cdot 66^\circ = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ\).

Также, \(\angle ABD = \angle ABE + \angle EBD\).

Заметим, что \(\angle BED\) является внешним углом треугольника \(DEC\) и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \(\angle BED = \angle EDC + \angle ECD\).

Найдем углы \(\angle EDC\) и \(\angle ECD\):

Так как \(BD = CD\), треугольник \(BDC\) равнобедренный, следовательно, \(\angle DBC = \angle DCB = \angle ECD\).

Пусть \(\angle EDC = x\), тогда \(\angle ECD = x\) и \(\angle BED = 57^\circ = 2x\), откуда \(x = 28.5^\circ\).

Вычислим угол \(\angle ABC\):

\(\angle ABC = \angle ABE + \angle EBD = 48^\circ + 28.5^\circ = 76.5^\circ\).

\(\angle BAC = 66^\circ\), \(\angle ACB = 28.5^\circ\).

Тогда, \(\angle ABC = 180^\circ - 66^\circ - 28.5^\circ = 85.5^\circ\).