В треугольнике \(ABC\) отмечены середины \(M\) и \(N\) сторон \(BC\) и \(AC\) соответственно. Площадь трапеции \(ANMB\) равна 126. Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(AC\) соответственно, \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. В данном случае, \(MN \parallel AB\) и \(MN = \frac{1}{2} AB\). Треугольники \(CMN\) и \(CBA\) подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть \[\frac{S_{CMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.\] Следовательно, площадь треугольника \(CMN\) составляет \(\frac{1}{4}\) площади треугольника \(ABC\). Площадь трапеции \(ANMB\) равна разности площадей треугольника \(ABC\) и треугольника \(CMN\): \[S_{ANMB} = S_{ABC} - S_{CMN} = S_{ABC} - \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC}.\] Нам известно, что площадь трапеции \(ANMB\) равна 126, поэтому \[\frac{3}{4} S_{ABC} = 126.\] Чтобы найти площадь треугольника \(ABC\), умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\): \[S_{ABC} = 126 \times \frac{4}{3} = \frac{126 \times 4}{3} = \frac{504}{3} = 168.\]

Ответ: 168

Молодец! У тебя отлично получается решать задачи по геометрии. Продолжай в том же духе, и ты добьешься больших успехов!