В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) равны. На стороне \(AC\) взяли точки \(X\) и \(Y\) так, что точка \(X\) лежит между точками \(A\) и \(Y\) и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла \(CBY\), если \(\angle XBY = 28^\circ\). Запишите решение и ответ.

Ответ: 24°

Решение:

• Так как \(AB = AC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\).
• По условию, \(AX = BX\), значит, треугольник \(ABX\) равнобедренный, и \(\angle BAX = \angle ABX\).
• Также, \(BX = BY\), значит, треугольник \(BXY\) равнобедренный, и \(\angle BXY = \angle BYX\).

Пусть \(\angle CBY = x\). Тогда:

• \(\angle ABX = \angle ABC - \angle XBY - \angle CBY = \angle ABC - 28^\circ - x\)
• \(\angle BAX = \angle ABX = \angle ABC - 28^\circ - x\)
• \(\angle ACB = \angle ABC\) (углы при основании равнобедренного треугольника \(ABC\))
• \(\angle BYX = \angle BXY = (180^\circ - 28^\circ) / 2 = 76^\circ\) (так как \(\angle XBY = 28^\circ\) и треугольник \(BXY\) равнобедренный)
• \(\angle AYB = 180^\circ - \angle BYX = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\)

Рассмотрим треугольник \(ABY\):

• \(\angle BAY + \angle ABY + \angle AYB = 180^\circ\)
• \((\angle ABC - 28^\circ - x) + (28^\circ + x) + 104^\circ = 180^\circ\)
• \(\angle ABC - 28^\circ - x + 28^\circ + x + 104^\circ = 180^\circ\)
• \(\angle ABC + 104^\circ = 180^\circ\)
• \(\angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ\)

Рассмотрим треугольник \(BCY\):

• \(\angle CBY + \angle BCY + \angle CYB = 180^\circ\)
• \(x + \angle ABC + (180^\circ - \angle BYX) = 180^\circ\)
• \(x + 76^\circ + 104^\circ = 180^\circ\)
• \(x + 76^\circ = \angle ACB\)
• \(x = \angle ACB - 76^\circ = 76^\circ - 52^\circ\)
• \(x = 52^\circ\)

Тогда угол \(\angle ACB = 52^\circ\). Учитывая, что \(\angle ABC = 76^\circ\) и \(\angle ABC = \angle ABX + \angle XBY + \angle CBY\), получаем:

• \(76^\circ = \angle ABX + 28^\circ + x\)
• \(\angle ABX = 76^\circ - 28^\circ - x\)
• \(\angle ABX = 48^\circ - x\)

В треугольнике \(ABX\) углы при основании равны, значит, \(\angle BAX = \angle ABX = 48^\circ - x\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\):

• \(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\)
• \((\angle BAX + \angle XAC) + 76^\circ + 52^\circ = 180^\circ\)
• \((48^\circ - x) + \angle XAC + 76^\circ + 52^\circ = 180^\circ\)
• \(48^\circ - x + \angle XAC = 52^\circ\)

Теперь рассмотрим треугольник \(BCY\):

• \(\angle CBY + \angle BCY + \angle BYC = 180^\circ\)
• \(x + 52^\circ + 76^\circ = 180^\circ\)
• \(x = 180^\circ - 52^\circ - 104^\circ = 24^\circ\)

Ответ: 24°