В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(C\) равны \(20^\circ\) и \(60^\circ\) соответственно. Найдите угол между высотой \(BH\) и биссектрисой \(BD\).

В треугольнике \(ABC\) известны два угла: \(\angle A = 20^\circ\) и \(\angle C = 60^\circ\). Найдем угол \(B\):

$$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ$$

Так как \(BD\) - биссектриса, то она делит угол \(B\) пополам:

$$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\), где \(BH\) - высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Найдем угол \(ABH\):

$$\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$$

Теперь найдем угол между высотой \(BH\) и биссектрисой \(BD\), то есть угол \(HBD\):

$$\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$$

Ответ: 20