В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен 45°, угол \(B\) равен 30°, \(BC = 11\sqrt{2}\). Найдите сторону \(AC\).

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

В нашем случае:

• \(a = BC = 11\sqrt{2}\)
• \(A = 45^\circ\)
• \(B = 30^\circ\)
• Сторона, которую нужно найти: \(AC = b\)

Угол \(C\) можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$$

Теперь можно использовать теорему синусов для нахождения стороны \(AC\):

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{11\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}$$

Знаем, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Подставим эти значения:

$$\frac{11\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}$$

Чтобы найти \(AC\), перемножим крайние члены пропорции и средние члены пропорции:

$$AC = \frac{11\sqrt{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Упростим выражение:

$$AC = \frac{11\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$AC = 11$$

Ответ: 11