В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, \(AC = 3\), \(\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Найдите длину стороны \(BC\).

Ответ: 6

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем \(\sin A\) по основному тригонометрическому тождеству:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\] \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\]

• Шаг 2: Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

• Шаг 3: Выразим \(AB\) через \(\cos A\):

\[\cos A = \frac{AC}{AB}\] \[AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}}\]

• Шаг 4: Найдем \(BC\):

\[BC = AB \cdot \sin A = \frac{15}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{30}{5} = 6\]

Ответ: 6