В треугольнике \(ABC\) величины углов при вершинах \(A\) и \(B\) равны соответственно \(30^\circ\) и \(45^\circ\). Высота, проведённая из третьей вершины, опускается в точку \(H\) стороны \(AB\). Длина стороны \(AC\) составляет 87 см. Выразите в миллиметрах длину отрезка \(BH\).

1. Шаг 1: Найдем угол C треугольника ABC

   Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно,

   \[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ\]

2. Шаг 2: Найдем сторону BC по теореме синусов

   Применим теорему синусов:

   \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{87}{\sin 45^\circ}\]

   Выразим \(BC\):

   \[BC = \frac{87 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{87 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{87}{\sqrt{2}} = \frac{87\sqrt{2}}{2}\]

3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH

   В треугольнике \(CBH\) угол \(\angle CHB = 90^\circ\), и угол \(\angle CBH = 45^\circ\). Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и \(CH = BH\).

4. Шаг 4: Найдем BH

   Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CBH\). \(\angle CBH = 45^\circ\). Тогда

   \[\sin 45^\circ = \frac{CH}{BC}\] \[CH = BC \cdot \sin 45^\circ = \frac{87\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{87 \cdot 2}{4} = \frac{87}{2} = 43.5 \text{ см}\]

   Так как \(BH = CH\), то \(BH = 43.5\) см.

5. Шаг 5: Преобразуем в миллиметры

   Так как 1 см = 10 мм, то \(BH = 43.5 \cdot 10 = 435\) мм.

Ответ: 435