В треугольнике \(PQR\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(PQ\) и \(QR\) соответственно. Внутри треугольника \(PQR\) случайным образом выбрана точка \(A\). Какова вероятность, что точка \(A\) оказалась внутри четырёхугольника \(PMNR\)?

Решение:

Пусть \(S_{PQR}\) — площадь треугольника \(PQR\), а \(S_{PMNR}\) — площадь четырехугольника \(PMNR\).

Так как точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(PQ\) и \(QR\) соответственно, то \(MN\) — средняя линия треугольника \(PQR\). Значит, \(MN \parallel PR\) и \(MN = \frac{1}{2}PR\). Треугольники \(QMN\) и \(QRP\) подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{QM}{QP} = \frac{QN}{QR} = \frac{1}{2}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{QMN}}{S_{PQR}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

Площадь треугольника \(QMN\) составляет \(\frac{1}{4}\) от площади треугольника \(PQR\). Следовательно, площадь четырехугольника \(PMNR\) равна:

\[S_{PMNR} = S_{PQR} - S_{QMN} = S_{PQR} - \frac{1}{4}S_{PQR} = \frac{3}{4}S_{PQR}\]

Вероятность того, что точка \(A\) окажется внутри четырехугольника \(PMNR\), равна отношению площади \(PMNR\) к площади \(PQR\):

\[P = \frac{S_{PMNR}}{S_{PQR}} = \frac{\frac{3}{4}S_{PQR}}{S_{PQR}} = \frac{3}{4} = 0.75\]

Ответ: 0.75