В треугольнике \(PQR\) величины углов при вершинах \(P\) и \(Q\) равны соответственно 30° и 45°. Высота, проведённая из третьей вершины, опускается в точку \(H\) стороны \(PQ\). Длина стороны \(PR\) составляет 23 см. Выразите в миллиметрах длину отрезка \(QH\).

Пошаговое решение:

1. Найдем угол \(R\) в треугольнике \(PQR\).
   Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \(\angle R = 180° - 30° - 45° = 105°\).
2. Найдем сторону \(RQ\) по теореме синусов:
   \[\frac{PR}{\sin Q} = \frac{RQ}{\sin P}\]
   \[RQ = \frac{PR \cdot \sin P}{\sin Q} = \frac{23 \cdot \sin 30°}{\sin 45°} = \frac{23 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{23}{\sqrt{2}} = \frac{23 \sqrt{2}}{2}\] см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(RQH\). Угол \(Q\) равен 45°.
   Найдем \(QH\) как прилежащий катет:
   \[QH = RQ \cdot \cos Q = \frac{23 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 45° = \frac{23 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{23 \cdot 2}{4} = \frac{23}{2} = 11.5\] см.
4. Переведем длину \(QH\) в миллиметры:
   \(11.5 \text{ см} = 11.5 \cdot 10 \text{ мм} = 115 \text{ мм}\)

Ответ: 115 мм