В треугольнике ABC ∠A=90°, AB=5 см, BC=13 см. Найдите радиус окружности с центром C, если она имеет с прямой AB только одну общую точку.

Решение:

По условию задачи, окружность и прямая имеют только одну общую точку. Возможны три ситуации: расстояние от точки C до прямой AB:

• а) меньше радиуса окружности;
• б) равно радиусу окружности;
• в) больше радиуса окружности.

В случае а) прямая и окружность имеют две общих точки; в случае б) имеют одну общую точку; в случае в) общих точек нет. Ситуации а) и в) противоречат условию задачи.

Пошаговое решение:

Следовательно, радиус r окружности равен расстоянию от точки C до AB, т.е. равен катету AC.

По теореме Пифагора:

AC = √(BC² - AB²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 (см).

Ответ: 12 см.