1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найдите АС. 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), C(4; 2).

Давай решим эти задачи по геометрии. Начнем с первой.

1. Нахождение стороны AC

В треугольнике ABC даны углы ∠A = 45°, ∠B = 60° и сторона BC = 3√2. Нужно найти сторону AC.

Сначала найдем угол ∠C. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 45° - 60° = 75°\]

Теперь можно использовать теорему синусов:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°}\]

Учитывая, что \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получим:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим левую часть:

\[\frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 6\]

Теперь найдем AC:

\[AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

2. Нахождение третьей стороны треугольника

Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдем третью сторону треугольника, используя теорему косинусов.

Пусть a = 7, b = 8, а угол между ними \(\gamma = 120°\). Тогда третья сторона c:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\]

Подставим значения:

\[c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120°\]

Учитывая, что \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\), получим:

\[c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[c^2 = 49 + 64 + 56 = 169\]

Извлечем квадратный корень:

\[c = \sqrt{169} = 13\]

3. Определение вида треугольника ABC

Определим вид треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Сначала найдем длины сторон AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

1. Длина стороны AB:

\[AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

2. Длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

3. Длина стороны AC:

\[AC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для какого-либо угла (чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным):

Пусть \(AB^2 + BC^2 = AC^2\):

\[(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2\] \[18 + 32 = 50\] \[50 = 50\]

Так как теорема Пифагора выполняется, треугольник ABC является прямоугольным. Угол ∠B - прямой.

Ответ: 1) \(AC = 3\sqrt{3}\); 2) 13 см; 3) Прямоугольный треугольник