1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Най- дите АС. 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), C(4; 2).

Давай решим эти задачи по геометрии и алгебре.

1. Нахождение стороны AC в треугольнике ABC

Дано:

• ∠A = 45°
• ∠B = 60°
• BC = 3√2

Решение:

Используем теорему синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Учитывая, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Преобразуем уравнение:

\[ 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ 6 = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Теперь найдем AC:

\[ AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC = 3\sqrt{3} \]

Ответ:

AC = 3√3

2. Нахождение третьей стороны треугольника

Дано:

• Две стороны треугольника: a = 7 см, b = 8 см
• Угол между ними: ∠C = 120°

Решение:

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны c:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

Подставим значения:

\[ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ \]

Учитывая, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем:

\[ c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ c^2 = 49 + 64 + 56 \] \[ c^2 = 169 \]

Найдем c:

\[ c = \sqrt{169} \] \[ c = 13 \]

Ответ:

Третья сторона треугольника равна 13 см.

3. Определение вида треугольника ABC

Дано:

• Координаты вершин: A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2)

Решение:

Сначала найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

1. Длина стороны AB:

\[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

2. Длина стороны BC:

\[ BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

3. Длина стороны AC:

\[ AC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора (квадрат наибольшей стороны должен быть равен сумме квадратов двух других сторон):

\[ (5\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 \] \[ 50 = 18 + 32 \] \[ 50 = 50 \]

Поскольку равенство выполняется, треугольник ABC является прямоугольным.

Ответ:

Треугольник ABC - прямоугольный.