193 В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Докажем, что прямые АС и BD параллельны.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:

$$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 70° = 70°. $$

2) BC - биссектриса угла ABD, следовательно:

$$ ∠ABD = 2 \cdot ∠ABC = 2 \cdot 70° = 140°. $$

3) Найдем угол DBC:

$$ ∠DBC = ∠ABD \div 2 = 140° \div 2 = 70°. $$

4) Рассмотрим прямые АС и BD и секущую BC. Углы ∠ACB и ∠DBC являются внутренними накрест лежащими углами при прямых АС и BD и секущей BC. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как ∠ACB = ∠DBC = 70°, то прямые АС и BD параллельны.

Ответ: прямые АС и BD параллельны.