4. В треугольнике ABC ∠A = α, ∠C = β, высота ВН равна 4 см. Найдите АС. 5*. В трапеции МИКР продолжения боковых сторон пересе- каются в точке Е, причем ЕК = КР. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.

Ответ: AC = \(\frac{4}{\sin{\alpha}}\) + \(\frac{4}{\sin{\beta}}\)

Решение задачи 4:

• Рассмотрим треугольник ABH, в котором BH - высота, следовательно, \(\angle BHA = 90^\circ\).
• В прямоугольном треугольнике ABH: \(\sin{\alpha} = \frac{BH}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{BH}{\sin{\alpha}} = \frac{4}{\sin{\alpha}}\).
• Рассмотрим треугольник CBH, в котором BH - высота, следовательно, \(\angle BHC = 90^\circ\).
• В прямоугольном треугольнике CBH: \(\sin{\beta} = \frac{BH}{BC}\), следовательно, \(BC = \frac{BH}{\sin{\beta}} = \frac{4}{\sin{\beta}}\).
• Сторона AC является суммой отрезков AH и HC. Найдем эти отрезки, используя косинусы углов α и β.
• В прямоугольном треугольнике ABH: \(\cos{\alpha} = \frac{AH}{AB}\), следовательно, \(AH = AB \cdot \cos{\alpha} = \frac{4}{\sin{\alpha}} \cos{\alpha} = 4 \cdot ctg{\alpha}\).
• В прямоугольном треугольнике CBH: \(\cos{\beta} = \frac{HC}{BC}\), следовательно, \(HC = BC \cdot \cos{\beta} = \frac{4}{\sin{\beta}} \cos{\beta} = 4 \cdot ctg{\beta}\).
• Тогда \(AC = AH + HC = 4 ctg{\alpha} + 4 ctg{\beta}\).

Ответ: AC = \(\frac{4}{\sin{\alpha}}\) + \(\frac{4}{\sin{\beta}}\)