Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. В треугольнике ABC ∠B = 15°, ∠C = 45°, АВ = 5√6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Ответ:
Привет! Давай решим эту задачу вместе.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Найдем угол A:
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 15° - 45° = 120°
- Воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны AC:
\(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\)\(\frac{AC}{\sin 15°} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45°}\)
- Выразим AC:
\(AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 15°}{\sin 45°}\)
- Вспомним, что \(\sin 15° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)\(AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\)\(AC = \frac{5\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}}\)\(AC = \frac{5(6 - \sqrt{12})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(6 - 2\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}}\)\(AC = \frac{5(3 - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}\)
- Теперь найдем радиус описанной окружности R, используя теорему синусов:
\(\frac{AB}{\sin C} = 2R\)\(2R = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45°}\)\(R = \frac{5\sqrt{6}}{2\sin 45°} = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{3}\)
Ответ: AC = \(\frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}\), R = 5√3
Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
