В треугольнике ABC ∠C = 90°, CH — высота, BC = 20, sin ∠A = \frac{2}{10}. Найди AH.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{2}{10} = \frac{20}{AB}\]

Решаем уравнение относительно AB: \[AB = \frac{20 \cdot 10}{2} = 100\]

AB = 100

Используем теорему Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

Подставляем известные значения: \[AC^2 + 20^2 = 100^2\]

Решаем уравнение относительно AC: \[AC^2 = 100^2 - 20^2 = 10000 - 400 = 9600\] \[AC = \sqrt{9600} = \sqrt{1600 \cdot 6} = 40\sqrt{6}\]

AC = 40\sqrt{6}

Используем формулу площади треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Приравниваем: \[AC \cdot BC = AB \cdot CH\]

Выражаем CH: \[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{40\sqrt{6} \cdot 20}{100} = \frac{800\sqrt{6}}{100} = 8\sqrt{6}\]

HC = 8\sqrt{6}

Используем теорему Пифагора для треугольника AHC: \[AH^2 + HC^2 = AC^2\]

Выражаем AH: \[AH^2 = AC^2 - HC^2 = (40\sqrt{6})^2 - (8\sqrt{6})^2 = 9600 - 384 = 9216\] \[AH = \sqrt{9216} = \sqrt{16 \cdot 576} = 4 \cdot 24 = 96\]

Треугольники ABC и ACH подобны (по двум углам). Из подобия следует: \[\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}\] \[AH = \frac{AC^2}{AB}\] \[AH = \frac{(40\sqrt{6})^2}{100} = \frac{9600}{100} = 96\]

Свойство высоты, проведенной из прямого угла: \[CH^2 = AH \cdot HB\]

Но нам нужно найти AH, и у нас есть CH, AC. Используем: \[AC^2 = AH \cdot AB\] \[AH = \frac{AC^2}{AB}\] \[AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{20}{0.2} = 100\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 20^2 = 9600\] \[AH = \frac{9600}{100} = 96\]