2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, СС₁ — высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найти: ∠CAB.

Пошаговое решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, синус угла CAB равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).
• Однако нам не известна гипотенуза AB. Но у нас есть высота CC₁, проведённая к гипотенузе.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник CC₁B. В нём синус угла C₁BC равен отношению противолежащего катета CC₁ к гипотенузе BC: sin(∠C₁BC) = CC₁ / BC
• Подставим известные значения: sin(∠C₁BC) = 5 см / 10 см = 0.5
• Значит, ∠C₁BC = 30° (так как sin(30°) = 0.5).
• Угол C₁BC — это тот же угол ∠CBA.
• В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°. То есть, ∠CAB + ∠CBA = 90°.
• ∠CAB = 90° - ∠CBA = 90° - 30° = 60°.

Ответ: ∠CAB = 60°