В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне AC отмечены точки D и E так, что точка D лежит на отрезке AE, BD = DA, BE = EC. Найдите угол DBE.

Так как точки A, D, E, C лежат на одной прямой, то \(\angle BAD = \angle BAC = 38^\circ\).

В треугольнике ABD стороны \(BD\) и \(DA\) равны, поэтому он равнобедренный: \(\angle ABD = \angle BAD = 38^\circ\).

В треугольнике BEC стороны \(BE\) и \(EC\) равны, поэтому углы при основании равны: \(\angle EBC = \angle BCE = \angle BCA = 32^\circ\).

Луч \(BD\) находится внутри угла \(ABC\), как и луч \(BE\). Поэтому

\[\angle DBE = \angle ABC - \angle ABD - \angle EBC = 110^\circ - 38^\circ - 32^\circ = 40^\circ.\]

Ответ: \(40^\circ\).