5. В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC – точки P и K соответственно (точки P, M и K не лежат на одной прямой). Известно, что \(\angle BMP = \angle BMK\). Докажите, что: а) углы BPM и BKM равны; б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

Решение: а) Рассмотрим треугольники BMP и BMK. У них: * BM - общая сторона, * BP = BK (так как BE - медиана и высота в равнобедренном треугольнике ABC, и M лежит на BE, значит M равноудалена от AB и BC, и если \(\angle BMP = \angle BMK\), то и точки P и K равноудалены от B), * \(\angle BMP = \angle BMK\) (по условию). Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что \(\angle BPM = \angle BKM\). б) Так как треугольники BMP и BMK равны, то MP = MK. То есть, треугольник MPK - равнобедренный. Так как BM - биссектриса угла PBK (из равенства треугольников BMP и BMK), то BM является и высотой в треугольнике PBK. Следовательно, BM перпендикулярна PK.