В треугольнике ABC AB = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки AE, EC, BC.

Так как AB = AC, треугольник равнобедренный, поэтому ∠B = ∠C = (180° − 30°) / 2 = 75°.

В прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB = b, а ∠BAE = 30°. Поэтому BE = b · sin 30° = b/2, AE = b · cos 30° = √3b/2.

EC = AC − AE = b − √3b/2 = b(2 − √3)/2.

По теореме синусов BC / sin 30° = AB / sin 75°, откуда BC = b · sin 30° / sin 75° = b(√6 − √2)/2.

Из равенства площадей треугольника ABC: (BC · AD)/2 = (AC · BE)/2. Значит, AD = b · BE / BC = b(√6 + √2)/4.

Ответ: BE = b/2; AD = b(√6 + √2)/4; AE = √3b/2; EC = b(2 − √3)/2; BC = b(√6 − √2)/2.